a) \(\left(C\right)\) có tâm \(I\left(3;-1\right)\) và có bán kính \(R=2\), ta có :

\(IA=\sqrt{\left(3-1\right)^2+\left(-1-3\right)^2}=2\sqrt{5}\)

\(IA>R\), vậy A nằm ngoài (C)

b) \(\Delta_1:3x+4y-15=0;\Delta_2:x-1=0\)

a/

Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài đường tròn thì đường thẳng nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc và chia đôi dây cung nối 2 tiếp điểm

\(\Rightarrow AO\perp BC\) (đpcm)

\(\Rightarrow BH=CH=\dfrac{BC}{2}\)

b/

Ta có

B và C cùng nhìn AO dưới 1 góc vuông nên B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO => A; O; B; C cùng nằm trên 1 đường tròn

c/

Ta có sđ cung IB = sđ cung IC ( Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài đường tròn thì chia đôi cung chắn bởi hai tiếp điểm)

Xét tg vuông IBK và tg vuông IBH có

\(sđ\widehat{IBK}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung IB (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

\(sđ\widehat{IBH}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung IC (góc nội tiếp đường tròn)

Mà sđ cung IB = sđ cung IC (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{IBK}=\widehat{IBH}\)

cạnh huyền IB chung

\(\Rightarrow\Delta IBK=\Delta IBH\) (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau) 

\(\Rightarrow IK=IH\) (đpcm)

d/ Mình nghĩ mãi chỉ có 1 cách nhưng hơi dài mình nói cách làm thôi nhé

Vận dụng các hệ thức lượng trong tg vuông và t/c của hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm Sẽ tính được AB=AC;BC; AH từ đó tính được diện tích tg ABC 

Vận dụng công thức \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin\widehat{KAE}\) từ đó tính được \(\sin\widehat{KAE}\)

Tương tự ta cũng tính được \(\sin\widehat{AKE}\)

Vận dụng định lý hàm sin

\(\dfrac{KE}{\sin\widehat{KAE}}=\dfrac{AE}{\sin\widehat{AKE}}\Rightarrow\dfrac{KM+EM}{\sin\widehat{KAE}}=\dfrac{AC+EC}{\sin\widehat{AKE}}\)

Mà KM=KB (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm)

tg IBK = tg IBH (cmt) => KB=BH

=> KB=KM=BH Mà BH tính được AC tính được; EM=EC (2 tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm)

Giải PT để tìm EC Từ đó tính được AK; KE; AE

\(\Rightarrow S_{AKE}=\dfrac{1}{2}\left(AK+KE+AE\right).R\)

Bạn tự làm nhé

a ) Ta có : AB , AC là tiếp tuyến của (O)

$\Rightarrow AB\perp OB,AC\perp OC$

$\Rightarrow \widehat{ABO}+\widehat{ACO}={90}^0+{90}^0={180}^0\Rightarrow ABOC$ nội tiếp

b ) Vì AB là tiếp tuyến của (O)

$\Rightarrow \widehat{ABE}=\widehat{ADB}\Rightarrow \Delta ABE\sim \Delta ADB\left(g.g\right)$

$\Rightarrow \frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}\Rightarrow A{B}^2=AE.AD$

c ) Ta có :

Đề là đường kính AD hay sao nhỉ?

Mình làm tắt nha bạn không hiểu đâu thì hỏi lại nhé

a) MA, MB là tiếp tuyến

=> \(\widehat{OBM}=\widehat{OAM}=90^o\) (t/c tiếp tuyến)

=> \(\widehat{OBM}+\widehat{OAM}=180^o\)

mà 2 góc đối nhau

=> tứ giác AOBM nội tiếp

=> 4 điểm A, O, B, M cùng thuộc 1 đường tròn

b) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác OAM vuông tại A đường cao AH

=> \(AM^2=MH.MO\)

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác DAM vuông tại A đường cao AC

=> \(AM^2=MC.MD\)

=> \(AM^2=MH.MO=MC.MD\)

a: góc MAO+góc MBO=180 độ

=>MAOB nội tiếp

b: Xét ΔMAC và ΔMDA có

góc MAC=góc MDA

góc AMC chung

=>ΔMAC đồng dạng với ΔMDA

=>MA/MD=MC/MA

=>MA^2=MD*MC

c: Xét ΔIMC và ΔIAM có

góc IMC=góc IAM

góc MIC chung

=>ΔIMC đồng dạng với ΔIAM

=>IM/IA=IC/IM

=>IM^2=IA*IC

d: Xét ΔIBC và ΔIAB có

góc IBC=góc IAB

góc BIC chung

=>ΔIBC đồng dạng với ΔIAB

=>IB/IA=IC/IB

=>IB^2=IA*IC=IM^2

=>IB=IM

=>I là trung điểm của MB

a: Xét tứ giác OMAN có

\(\widehat{OMA}+\widehat{ONA}=90^0+90^0=180^0\)

=>OMAN là tứ giác nội tiếp

=>O,M,A,N cùng thuộc một đường tròn

b: ΔOBN cân tại O

mà OI là đường phân giác

nên OI\(\perp\)BN và OI là đường trung trực của BN

Xét ΔOBI và ΔONI có

OB=ON

\(\widehat{BOI}=\widehat{NOI}\)

OI chung

Do đó: ΔOBI=ΔONI

=>\(\widehat{OBI}=\widehat{ONI}=90^0\)

=>IB là tiếp tuyến của (O)

c: Xét (O) có

AM,AN là tiếp tuyến

=>AM=AN

=>A nằm trên đường trung trực của MN(1)

OM=ON

=>O nằm trên đường trung trực của MN(2)

Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của MN

d: AO là đường trung trực của MN

=>AO cắt MN tại trung điểm của MN

=>K là trung điểm của MN